渋谷幕張中学校(千葉県)・2005年度入試予想問題(算数)の作成、無料配布について(2005.1.8)

 先日の学校説明会において、次年度入試算数の出題内容についてかなり詳細な内容が発表されました。本当にその内容通りに出題されるかどうかは不明ですが、この内容にもとづいて予想問題を作成してみました。入手ご希望の方は、メールにて送付先をご連絡ください(来年度、幕張中学校を受験する生徒および、塾関係者に限らせていただきます)。一部、抜粋し、下記に公表します。さて、当たるでしょうか?

  [学校公表の出題内容]
問1 整数の約数の個数を問う問題
問2 数列(数の規則性)、暦を使った問題(記述問題を含む)
問3 場合の数。部屋に大きさの異なるカーペットを敷きつめる問題
問4 立体図形。立方体を積み重ねた立体を平面で切断する問題
問5 速さとグラフ。2点間の往復運動とダイヤグラム。
問6 平面図形。図形の移動と軌跡の作図。

(追記)実際の入試問題を入手しました。学校が公表した通りの内容でした。私の予想問題の下に実際の入試問題(一部は概要)を併記します。予想的中率は何点くらいでしょうか?

                    [予想問題]

問1 整数Aの約数の個数を[A]と表すことにします。たとえば、12の約数は1,2,3,4,6,12の6個ありますから、[A]=6となります。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) [A]=2となる整数Aを小さい順に5個書きなさい。
(2) [B]=3となる整数Bを小さい順に4個書きなさい。
(3) 下の表を参考にして、[C]=6となる整数Cを小さい順に3個書きなさい。ただし、12はのぞきます。

12の約数    3の約数
   1   
4の約数 1×1=1 1×3=3
2×1=2 2×3=6
4×1=4 4×3=12

(実際の入試問題)
問1 a,bを整数とするとき、[a,b]はaの約数の個数とbの約数の個数の和を表すことにします。たとえば、6の約数は1,2,3,6の4個、11の約数は1、11の2個なので、[6,11]=6となります。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) [12,30]を求めなさい。
(2) [a,4]=8となる整数aのうち、最も小さいものを求めなさい。


問2 下の表は今年(2005年)1月のカレンダーです。この中の斜めに続いた3つの数字の和をTとします。たとえば、3つの数字が2,10,18のとき、T=2+10+18=30となり、18,24,30のとき、T=18+24+30=72となります。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) T=57のとき、3つの数字を求めて(1,2,3)のように書きなさい。
(2) Tが7の倍数となるような3つの整数の組は何組ありますか。
(3) この表ではTが16の倍数となることはありません。その理由を簡単に説明しなさい。

 2  3  4  5  6
 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31

(実際の入試問題)
問2 [注] 1年のうちで、「22日の土曜日」が必ずあるかどうかを確かめる問題(日暦算)でした。


問3 AからDの4種類のカーペットがたくさんあります。これらをたて6m,横7mの長方形の部屋にぴったりしきつめる方法を考えます。
   A (1辺1mの正方形)   B (1辺2mの正方形)  C (1辺3mの正方形)  D (1辺4mの正方形)
(1) この部屋を2種類のカーペットでしきつめるとき、カーペットの選び方は何通りありますか。
(2) 最も少ないカーペットの枚数でこの部屋をしきつめるとき、どのカーペットを何枚使いますか。

(実際の入試問題)
問3 縦の長さが4m、横の長さが4mの部屋を4種類のカーペットで、すきまなく、重ならないようにしきつめることを考えましょう。  <カーペットの種類>(図は省略)@2m×1m、1900円 A2m×2m、3700円 B1m×1m、1000円 C3m×3m、8000円>
(1) Cのカーペットを部屋の左上に図(省略)のように配置して、残りの部分に他のカーペットでしきつめる方法は全部で何通りありますか。
(2) 一番安い金額でしきつめる方法は、それぞれのカーペットを何枚ずつ使いますか。使わない場合は0枚と答えなさい。
(3) Aのカーペットが値下げされたところ(2)よりも安い金額でしきつめることができるようになりました。Aのカーペットは何円より安くなったでしょう。

問4 右図(省略)のように大きさの等しい14個の立方体を組み合わせて作った立体を3点A、B、Cを通る平面で切ります。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) この立体の切り口の面積は、立方体アの切り口の面積の何倍になりますか。
(2) もとの小さな14個の立方体のうちで、切られていない立方体は何個ありますか。

(実際の入試問題)
問4 1辺の長さが1cmの立法体10個を、図1(省略)のように積み重ね、ばらばらにならないように、張り合わせて1つの立体を作ります。このとき次の□にあてはまる数を答えなさい。
(1) A,B,E,Fを通る平面でこの立体を切ったとき、□個の立体に切り分けられ、そのうち一番大きい立体の体積は、□cm3となる。
(2) B,C,Eを通る平面でこの立体を切ったとき、□個の立体に切り分けられ、そのうち一番大きい立体の体積は、□cm3となる。

問5 A市からB市までを一定の速さで往復するバスがA市を出発したときに、太郎君も同時にA市を出発してB市まで走りました。バスと太郎君の速さの比を5:1として次の各問いに答えなさい。必要ならば、下のグラフ(省略)を利用して求めなさい。
(1) 太郎君がB市からA市に向かうバスと初めて出会うのは、AB間の道のりのどれだけ走ったときですか。分数で答えなさい。
(2) 太郎君がB市からA市に向かうバスと初めて出会ってから、そのバスに追い抜かれるまでに12分かかりました。太郎君はA市からB市まで何分で走りましたか。

(実際の入試試問題)
問5 [注] 2点間を往復する2つの点の間の距離とグラフの問題でした。

問6 下のおうぎ形(省略)を点Oを中心として180度回転します。OB=3cm、OC=7cmとして、次の各問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。
(1) おうぎ形ABCの移った位置をコンパスと定規を使って作図しなさい。作図に使った線は消さずに残しておきなさい。
(2) おうぎ形の弧BCが通過した部分の面積を求めなさい。


(実際の入試問題)
問6 下の図形(省略)は、半径が3cm、中心角が90°のおうぎ形ABCと1辺の長さが3cmの正方形ACDEを組み合わせたものです。この図形を点Dを中心として矢印の方向に90°回転するとき、次の各問いに答えなさい。
(1) 対角線ADが通った部分の面積を求めなさい。
(2) 弧ABが通った部分を解答らんに作図し、斜線を引きなさい。ただし、作図に使った線は消さずに残しておきなさい。
(3) 弧ABが通った部分の面積を求めなさい。


解答  問1(1) 2,3,5,7,11  (2) 4,9,25,49  (3) 18,20,28
     問2(1) (11,19,27)、(13、19、25)  (2) 5組  
        (3) T=(中央の数)×3で求まるが,16が中央に来ることはないから。
     問3(1) 4通り  (2) Bを2枚、Cを2枚、Dを1枚
     問4(1) 9倍  (2) 5個
     問5(1) 1/3  (2) 72分
     問6(1) 省略  (2) 62.8cm2